アンサンブル平均

物理量の期待値

物理量の期待値は
Graph
で与えられる。 ただし、
Graph は系の状態の数、
Graph は状態Graphの実現する確率、
Graph は状態Graphが実現しているときの物理量Graphの値、
である。

状態の実現する確率

粒子数が変化しない場合(Canonical Ensemble)

統計力学の帰結から、状態Graph が実現する確率Graph は、その状態のエネルギーGraph と温度Graph をもちいて

Graph

のように書ける。ただし、Graphはボルツマン定数である。

分配関数 Graph

Graph

と定義すると、期待値Graph

Graph

で与えられる。

粒子の吸着しうる「席」がM 個並んでおり、その上にN 個の粒子が吸着しているとする。1個吸着したときの吸着のエネルギーをe とする。

吸着している「席」を1で、吸着していない「席」を0で表わす。0と1の分布を一つ決めると、状態が一つ決まる

M =4 N =1 J=0 1000 J=1  0100 J=2  0010 J=3  0001 状態 J の全系のエネルギーは、 状態 J の生じる確率は、 ; 課題1: 上の例で、M =4 N =2 のとき、どのような状態があるか、すべて書く。また、それらの状態での全系のエネルギーとそれらの状態の生じる確率を求める。

粒子数が変化する場合(Grand Canonical Ensemble)

統計力学の帰結から、状態 J が実現する確率は、その状態のエネルギー EJ 、温度 T、粒子数 N 、化学ポテンシャル m で以下のように書ける。

; はボルツマン定数 大分配関数 期待値 例:粒子の吸着しうる「席」がM 個並んでおり、粒子が吸着したり脱離したりしているとする。1個吸着したときの吸着のエネルギーをe とする。

吸着している「席」を1で、吸着していない「席」を0で表わす。0と1の分布を一つ決めると、状態が一つ決まる

M =3	
J=0  000
J=1  100
J=2  010
J=3  001
J=4  110
J=5  101
J=6  011
J=7  111

状態 J の全系の粒子数は、 ; (はi番目の「席」に吸着していれば1、そうでなければ0) 状態 J の全系のエネルギーは、 状態 J の生じる確率は、 ; 課題2: 上の例で、M =4 のとき、どのような状態があるか、すべて書く。また、それらの状態での全系のエネルギーとそれらの状態の生じる確率を求める。

課題3: 上の例で、M = 100 のとき、状態の数はどれくらいか。また、現在最高のコンピュータは1秒間に約 109 回の演算ができると言われているが、M = 100 の系での平均値を計算するのに、このコンピュータで最低どれだけの時間がかかるか求める。

課題1
Canonical Ensembleの例で、M=4, N=2のとき、どのような状態があるか、すべて書く。また、それらの状態での全系のエネルギーと状態の生じる確率を求める。
課題2
Grand Canonical Ensembleの例で、M=4のとき、どのような状態があるか、すべて書く。また、それらの状態での全系のエネルギーと状態の生じる確率を求める。
課題3
Grand Canonical Ensembleの例で、M = 100 のとき、状態の数はどれくらいか。また、1秒間に約 1012 回の演算ができるコンピュータを用いた場合、M = 100 の系での平均値を計算するのに、最低どれだけの時間がかかるか求める。
アンサンブル平均.txt · 最終更新: 2015/07/10 12:30 by kimi
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