演算子

交換関係

演算子に対しては和の交換則は成立するが、積の交換則は成立しない。すなわちA, Bを演算子とすると、一般には

Graph

かつ

Graph

である。そこで

Graph

と定義し、これを交換子とよぶ。

一般に、交換子には次のような関係がなりたつ。ただし、Graph, Graph, Graphは演算子、Graphは単なる数(一般に複素数)であるとする。

(1)

Graph

証明

Graph

(2)

証明

(3)

証明

(4)

証明

エルミート共役

演算子Aに対して の関係を満たす演算子を、Aのエルミート共役な演算子と呼びA†と表記する。エルミート共役な演算子には次のような関係がなりたつ。ただし、A, B, Cは演算子、kは単なる数(一般に複素数)であるとする。

(1)

証明

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(2)

証明

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(3)

証明

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(4)

証明

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不確定性関係

任意の実数 t とエルミート演算子 A, B に対して と置くと、そのエルミート共役な演算子は、 となる。また は関数 の絶対値の自乗を積分したものであるから必ず正になる。すなわち となる。これを展開すると ここで、左辺右辺とも実数であるには*は純虚数でなければならない。そこで任意の実数t について もしくは の関係を満たされることになる。どちらの関係であっても (二次方程式の判別式) の条件が成立する。すなわち そこでたとえば、とおくと、 よって*。同様にして*。また、 であるから のような不確定性関係が成立する。

lectures/演算子.txt · 最終更新: 2016/09/28 16:59 by kimi
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