Surface Science and Solid State Theory Laboratory

@surface


数値計算2012/7/10

Posted on 7月 06, 2012 by kimi

7月10日分の講義資料をアップロードしておきました。今回は行列の固有値、固有ベクトル、所謂行列の対角化です。

電気電子工学では固有方程式型の微分方程式に帰着する問題が数多くあります。量子力学で出てくる時間に依存しないシュレディンガー方程式もその一つです。固有方程式型の微分方程式は解を適当な正規直交関数系で展開することによって行列の固有値問題に焼き直して解くことがよく行われます。最もよく使われ、最も汎用的な正規直交関数展開が前回扱ったフーリエ展開です。そこで前回の高速フーリエ変換と同時に今回の行列の対角は非常によく使用されるツールになっています。実際にはフーリエ変換も、行列の対角化も自分でコーディングするよりも適当なライブラリを使用することの方が多いのですが、それらの原理についてちゃんと理解しておかないと、ライブラリを適切に使用することはできません。講義では最も頻繁に必要になる実対称行列の対角化に絞って話をします。

また、固有値・固有ベクトルを求める際、全ての固有値や固有ベクトルが必要なわけでなく、最大固有値もしくは最少固有値だけが必要な場合や、大きいほうからもしくは小さいほうから数個だけ固有値と固有ベクトルが必要な場合がよくあります。特に対象とする行列が非常に大きな次元を持つ時にはこのような場合がよく出てきます。そのような場合には「繰り返し法」と「シュミットの直交化」を用いていくつかの固有値と固有ベクトルの組だけを求めることも頻繁に行われます。

どちらにせよ実対称行列に限ってもの固有値と固有ベクトルを求める実用的なプログラムを書くのは結構大変な作業になります。意欲のある人は是非、トライしてみてください。いつでも相談に応じます。

Leave a Reply




↑ Top