Surface Science and Solid State Theory Laboratory

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数値計算2013/7/2

Posted on 7月 01, 2013 by kimi

7月2日分の講義資料をアップロードしておきました。今回は行列の固有値・固有ベクトルについて説明します。

電子物性の基礎でお話しした時間に依存しないシュレディンガー方程式の解(定常状態)や導波管や光ファイバーの中のマイクロ波や光のモード解析などは最初の問題は微分方程式の顔をしていますが、フーリエ展開などように適当な基底関数を使って展開することによって行列の固有値と固有ベクトルを求める問題に焼き直すことができます。これ以外にも電気電子工学で重要になる問題のほとんどが実対称行列で表現される、もしくは適当な相似変換によって実対称行列の対角化に帰着出来る問題であり、ヤコビ法などの方法により固有値、固有ベクトルを求めることができます。

全ての固有値・固有ベクトルを求めるのではなく最大固有値(もしくは最小固有値)からいくつかの固有値・固有ベクトルを求めるだけで足ることも多く、最近では冪乗法と呼ばれる方法やその変形もよく使用されます。みなさんがこのような方法のコーディングをすることは滅多に無いかもしれませんが、数値計算ライブラリの中の適切なライブラリ関数を適切に使用するにはその中で何が起こっているかという知識が不可欠です。

また、高速フーリエ変換でも余談で説明したように、FFTのルーティンとjacobi法のルーティンを自分で組むことができるようになれば、数値計算法としては免許皆伝です。(残念ながらこの半期の講義だけでは、達成目標がオイラー法とその仲間までで、初伝といったところですが。)ぜひ挑戦してみて欲しいと思います。正式な最終レポートの課題の発表と今後の講義計画についての説明も行います。

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